数列

等差数列相关知识定义如果数列\(\{a_n\}\)从第二项起，每一项与它的前一项之差都为一个常数d，

递推公式：\(a_{n + 1}-a_n = d\)。

\(d>0\)：递增数列
\(d = 0\)：常数数列
\(d<0\)：递减数列

通项公式
① \(a_n=a_1+(n - 1)d\)

② \(a_n=a_m+(n - m)d\)

③ \(a_n=kn + b\)

③是证明\(\{a_n\}\)为等差数列的充要条件

当\(d = 0\)时，\(f(x)\)为常数函数；
当\(d\neq0\)时，\(f(x)\)为一次函数。

性质

① 如果A、x、B是等差数列，则x为A与B的等差中项，且\(x=\frac{A + B}{2}\)。

② \(a_n=\frac{a_{n - m}+a_{n + m}}{2}\)。

③ 当\(m + n=p + q\)时，\(a_m+a_n=a_p+a_q\) 。

前n项和\(S_n=\frac{n(a_1 + a_n)}{2}=na_1+\frac{n(n - 1)d}{2}\)。

当\(S_n=An^2 + Bn\)时，首项为(A + B\)，公差为2A。

数列\(\{a_n\}\)为等差数列\(\Rightarrow\)\(\{\frac{S_n}{n}\}\)为等差数列，公差为\(\frac{d}{2}\)。

用\(S_n\)表示，\(S_n\)，\(S_{2n}-S_n\)，\(S_{3n}-S_{2n}\cdots\)为等差数列，公差为\(n^2d\)。
当有2n项时：
\(S_{偶}=a_2 + a_4+\cdots+a_{2n}=n(a_2 + a_{2n})/2 = n\cdot a_{n + 1}\)
\(S_{奇}=a_1 + a_3+\cdots+a_{2n - 1}=n(a_1 + a_{2n - 1})/2 = n\cdot a_{n}\)
\(S_{奇}-S_{偶}=-nd\)
当有\(2n + 1\)项时：
\(S_{奇}-S_{偶}=a_{n + 1}\)